Тригонометрия что это такое


Тригонометрия - это... Что такое Тригонометрия?

Тригономе́трия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии[1]. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

В Школе СССР имела статус учебного предмета.

Основная статья: Тригонометрические функции

Тригонометрические функции угла θ внутри единичной окружности

Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника).

  • Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  • Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  • Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
  • Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
  • Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.
  • Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету.

Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от 0 до радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось. Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:

Для острых углов новые определения совпадают с прежними.

Возможно также чисто аналитическое определение этих функций, которое не связано с геометрией и представляет каждую функцию её разложением в бесконечный ряд.

История

Основная статья: История тригонометрии

Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды — это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме.

Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи — sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами.

Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд. Возможно Гиппарх взял идею такого деления у Гипсикла, который ранее разделил день на 360 частей, хотя такое деление дня могли предложить и вавилонские астрономы.

Менелай Александрийский (100 н. э.) написал «Сферику» в трёх книгах. В первой книге он представил основы для сферических треугольников, аналогично I книге «Начал» Евклида о плоских треугольниках. Он представил теорему, для которой нет аналога у Евклида, о том, что два сферических треугольника конгруэнтны, если соответствующие углы равны, но он не делал различия между конгруэнтными и симметричными сферическими треугольниками. Другая его теорема гласит о том, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга «Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «теорему Менелая», известную также как «правило шести величин».

Позднее Клавдий Птолемей (90 — 168 г. н. э.) в «Альмагесте» расширил Гиппарховы «Хорды в окружности». Тринадцать книг «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемея, также известна сегодня как теорема Птолемея, которая говорит о том, что сумма произведений противоположных сторон выпуклого вписанного четырёхугольника равна произведению диагоналей. Отдельный случай теоремы Птолемея появился как 93 предложение «Данных» Евклида.

Теорема Птолемея влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, хотя, возможно, эти таблицы были выведены из работ Гиппарха. Ни таблицы Гиппарха, ни Птолемея не сохранились до настоящего дня, хотя свидетельства других древних авторов снимают сомнения об их существовании.

Средневековая Индия

Другие источники сообщают, что именно замена хорд синусами стала главным достижением Средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как

Индийцы также знали формулы для кратных углов , , где .

Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.

Южноиндийские математики в 16 веке добивались больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа π. Нилаканта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.

В 8 в. учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами индийских математиков и астрономов и перевели их на арабский язык. В середине 9 века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как арабские трактаты были переведены на латынь, многие идеи индийских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

См. также

Примечания

  1. ↑ Советский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1982.

dic.academic.ru

Тригонометрия - синус, косинус, тангенс, котангенс

Возьмём x-axis и y-axis (orthonormal) и пусть O будет началом. Окружность с центром в точке O и с радиусом = 1 известна как тригонометрическая окружность или единичная окружность. Если P точка на окружности и t это угол между PO и x тогда:
  • x-координата P называется косинусом t. Записывается как cos(t);
  • y-координата P называется синусом t. Записывается как sin(t);
  • Число sin(t)/cos(t) называется тангенсом t. Записывается как tg(t);
  • число cos(t)/sin(t) называется котангенсом t. Записывается как ctg(t).

sin : R -> R Все тригонометрические функции являются периодическими. Период синуса равен 2π. Диапазон функции: [-1,1].

Функция косинуса

cos : R -> R Период косисинуса равен 2π. Диапазон функции: [-1,1].

Функция тангенса

tg : R -> R Диапазон функции равен R. В этом случае период равенπ и функия не может быть определена для x = (π/2) + kπ, k=0,1,2,... График функции тангенса в интервале 0 - π

Анимираная графика тангенса(открыть в новом окне): График функции тангенса в интервале 0 - 2π

Функция котангенса

ctg : R -> R Диапазон функции равен R. В этом случае период равен π и функция не может быть определена для x = kπ, k=0,1,2,...

Значения sin, cos, tan, cot при значениях углов 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°
$\alpha^o$ $0^o$ $30^o$ $45^o$ $60^o$ $90^o$ $120^o$ $135^o$ $150^o$ $180^o$ $210^o$ $225^o$ $240^o$ $270^o$ $300^o$ $315^o$ $330^o$ $360^o$
$\alpha rad$ $0$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{3\pi}{4}$ $\frac{5\pi}{6}$ $\pi$ $\frac{7\pi}{6}$ $\frac{5\pi}{4}$ $\frac{4\pi}{3}$ $\frac{3\pi}{2}$ $\frac{5\pi}{3}$ $\frac{7\pi}{4}$ $\frac{11\pi}{6}$ $2\pi$
$sin\alpha$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$ $-\frac{1}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{1}{2}$ $0$
$cos\alpha$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$ $-\frac{1}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{1}{2}$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $1$
$tan\alpha$ $0$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $-$ $-\sqrt{3}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $-$ $-\sqrt{3}$ $-1$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$
$cot\alpha$ $-$ $\sqrt{3}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $-1$ $-\sqrt{3}$ $-$ $\sqrt{3}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $-1$ $-\sqrt{3}$ $-$

Самый простой способ, чтобы запомнить основные значения sin и cos углов 0°, 30°, 60°, 90°: sin([0, 30, 45, 60, 90]) = cos([90, 60, 45, 30, 0]) = $\sqrt{\frac{[0, 1, 2, 3, 4]}{4}}$

Тригонометрические тождества

Для t радиан одна точка соответствует с координатами P(cos(t),sin(t)) на единичной окружности. Квадрат расстояния [OP] = 1. Вычисляя расстояние для этой точки с координатами P, для каждого t мы получим:

cos2(t) + sin2(t) = 1

Если t + t' = 180° тогда:

  • sin(t) = sin(t')
  • cos(t) = -cos(t')
  • tg(t) = -tg(t')
  • ctg(t) = -ctg(t')

Если t + t' = 90° тогда:

  • sin(t) = cos(t')
  • cos(t) = sin(t')
  • tg(t) = ctg(t')
  • ctg(t) = tg(t')

$-\alpha$ $90^\circ - \alpha$ $90^\circ + \alpha$ $180^\circ - \alpha$
$\textrm{ sin }$ $-\textrm{ sin }\alpha$ $\textrm{ cos }\alpha$ $\textrm{ cos } \alpha$ $\textrm{ sin }\alpha$
$\textrm{ cos }$ $\textrm{ cos }\alpha$ $\textrm{ sin }\alpha$ $-\textrm{ sin} \alpha$ $-\textrm{ cos }\alpha$
$\textrm{ tg }$ $-\textrm{ tg }\alpha$ $\textrm{ ctg }\alpha$ $-\textrm{ ctg } \alpha$ $-\textrm{ tg }\alpha$
$\textrm{ ctg }$ $-\textrm{ ctg }\alpha$ $\textrm{ tg }\alpha$ $-\textrm{ tg } \alpha$ $-\textrm{ ctg }\alpha$

$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$ + если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или ||

- если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте ||| или |V

$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$ + если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |V

- если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |||

$tg\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$ + если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |||

- если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |V

$\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$ + если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |||

- если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |V

$\textrm{ tg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha-\textrm{ ctg }\alpha$

$\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha+\textrm{ ctg }\alpha$

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

$\sin(2u) = 2\sin(u)\cdot \cos(u)$

$\cos(2u) = \cos^2(u) - \sin^2(u) = 2\cos^2(u) - 1 = 1 - 2\sin^2(u)$

$\textrm{ tg }(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1- \textrm{ tg }^2(u)}$

$\cos(2u) = \frac{1 - \textrm{ tg }^2(u)}{1 + \textrm{ tg }^2(u)}$

$\sin(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1 + \textrm{ tg }^2(u)}$

$\sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4 \sin^3\alpha$

$\cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3 \cos\alpha$

$\textrm{ tg }3\alpha=\frac{3\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ tg }^3\alpha}{1-3\textrm{ tg }^2\alpha}$

$\textrm{ ctg }3\alpha=\frac{\textrm{ ctg }^3\alpha-3\textrm{ ctg }\alpha}{3\textrm{ ctg }^2\alpha-1}$

$\sin4\alpha = 4\cos^3\alpha\sin\alpha - 4\cos\alpha \sin^3\alpha$

$\cos4\alpha = \cos^4\alpha - 6\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha$

$\textrm{ tg }4\alpha=\frac{4\textrm{ tg }\alpha - 4\textrm{ tg }^3\alpha}{1-6\textrm{ tg }^2\alpha+\textrm{ tg }^4\alpha}$

$\textrm{ ctg }4\alpha=\frac{\textrm{ ctg }^4\alpha-6\textrm{ ctg }^2\alpha+1}{4\textrm{ ctg }^3\alpha-4\textrm{ ctg }\alpha}$

Формулы понижения степени

$\sin^2(\alpha)=\frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$

$\sin^3(\alpha)=\frac{3\sin\alpha - \sin(3\alpha)}{4}$

$\sin^4(\alpha)=\frac{\cos(4\alpha) - 4\cos(2\alpha) + 3}{8}$

$\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$

$\cos^3(\alpha)=\frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4}$

$\cos^4(\alpha)=\frac{4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + 3}{8}$

Формулы сложения

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)}$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\textrm{ tg }(\alpha) + \textrm{ tg }(\beta)}{1 - \textrm{ tg }(\alpha)\cdot\textrm{ tg }(\beta)}$

$\textrm{ ctg }(\alpha \pm \beta) = \frac{\textrm{ ctg }(\beta)\textrm{ ctg }(\alpha)\mp 1}{\textrm{ ctg }(\beta)\pm cot(\alpha)}=\frac{1\mp \textrm{ tg }(\alpha)\textrm{ tg }(\beta)}{\textrm{ tg }(\alpha)\pm \textrm{ tg }(\beta)}$

$\sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin\alpha \cos\beta \cos\gamma + \cos\alpha \sin\beta \cos\gamma + \cos\alpha \cos\beta \sin\gamma - \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$

$\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma - \sin\alpha \sin\beta \cos\gamma - \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma $ $- \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma - \cos\alpha \sin\beta \sin\gamma$

$\textrm{ tg }(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta + \textrm{ tg }\gamma - \textrm{ tg }\alpha\cdot \textrm{ tg }\beta \cdot \textrm{ tg }\gamma}{1 - \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\beta - \textrm{ tg }\beta\cdot\textrm{ tg }\gamma - \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\gamma}$

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

$\textrm{ sin } \alpha + \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\textrm{ sin } \alpha - \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha - \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2}$

$\textrm{ cos } \alpha + \textrm{ cos }\beta = 2 \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\textrm{ cos } \alpha - \textrm{ cos }\beta = -2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ sin }\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$

$\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$

$\textrm{ ctg }\alpha + \textrm{ ctg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$

$\textrm{ ctg }\alpha - \textrm{ ctg }\beta = \frac{-\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$

Формулы произведения

$\textrm{ sin }\alpha \textrm{ sin }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha - \beta) - \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$

$\textrm{ cos }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha - \beta) + \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$

$\textrm{ sin }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ sin }(\alpha + \beta) + \textrm{ sin }(\alpha - \beta))$

$\textrm{ tg }\alpha\textrm{ tg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}=-\frac{\textrm{ tg }\alpha-\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha-\textrm{ ctg }\beta}$

$\textrm{ ctg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$

$\textrm{ tg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$

$\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)+\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(-\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

$\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)-\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

Универсальная тригонометрическая подстановка

$\sin\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$

$\textrm{tg}\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$

$\textrm{ctg}\alpha = \frac{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}$

Другие формулы

$1\pm\sin\alpha=2\sin^2\big(\frac{\pi}{4}\pm \frac{\alpha}{2}\big)=2\cos^2\big(\frac{\pi}{4}\mp \frac{\alpha}{2}\big)$

$\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha} = \textrm{ tg }^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})$

$\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \textrm{ tg }^2\frac{\alpha}{2}$

$\frac{1-\textrm{ tg }\alpha}{1+\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$

$\frac{1+\textrm{ tg }\alpha}{1-\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}+\alpha)$

$\frac{\textrm{ ctg }\alpha + 1}{\textrm{ ctg }\alpha - 1} = \textrm{ ctg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$

$\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ ctg }\alpha = \frac{2}{\sin2\alpha}$

$\textrm{ tg }\alpha - \textrm{ ctg }\alpha = -2\textrm{ ctg }2\alpha$

Тригонометрия на страницах математического форума

Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!

www.math10.com

Тригонометрия с нуля: основные понятия, история :

Синус, косинус, тангенс – при произнесении этих слов в присутствии учеников старших классов можно быть уверенным, что две трети из них потеряют интерес к дальнейшему разговору. Причина кроется в том, что основы тригонометрии в школе преподаются в полном отрыве от реальности, а потому учащиеся не видят смысла в изучении формул и теорем.

В действительности данная область знаний при ближайшем рассмотрении оказывается весьма интересной, а также прикладной – тригонометрия находит применение в астрономии, строительстве, физике, музыке и многих других областях.

Ознакомимся с основными понятиями и назовем несколько причин изучить этот раздел математической науки.

История

Неизвестно, в какой момент времени человечество начало создавать будущую тригонометрию с нуля. Однако документально зафиксировано, что уже во втором тысячелетии до нашей эры египтяне были знакомы с азами этой науки: археологами найден папирус с задачей, в которой требуется найти угол наклона пирамиды по двум известным сторонам.

Более серьезных успехов достигли ученые Древнего Вавилона. На протяжении веков занимаясь астрономией, они освоили ряд теорем, ввели особые способы измерения углов, которыми, кстати, мы пользуемся сегодня: градусы, минуты и секунды были заимствованы европейской наукой в греко-римской культуре, в которую данные единицы попали от вавилонян.

Предполагается, что знаменитая теорема Пифагора, относящаяся к основам тригонометрии, была известна вавилонянам почти четыре тысячи лет назад.

Название

Дословно термин «тригонометрия» можно перевести как «измерение треугольников». Основным объектом изучения в рамках данного раздела науки на протяжении многих веков был прямоугольный треугольник, а точнее – взаимосвязь между величинами углов и длинами его сторон (сегодня с этого раздела начинается изучение тригонометрии с нуля). В жизни нередки ситуации, когда практически измерить все требуемые параметры объекта (или расстояние до объекта) невозможно, и тогда возникает необходимость недостающие данные получить посредством расчётов.

Например, в прошлом человек не мог измерить расстояние до космических объектов, а вот попытки эти расстояния рассчитать встречаются задолго до наступления нашей эры. Важнейшую роль играла тригонометрия и в навигации: обладая некоторыми знаниями, капитан всегда мог сориентироваться ночью по звездам и скорректировать курс.

Основные понятия

Для освоения тригонометрии с нуля требуется понять и запомнить несколько основных терминов.

Синус некоторого угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Уточним, что противолежащий катет – это сторона, лежащая напротив рассматриваемого нами угла. Таким образом, если угол составляет 30 градусов, синус этого угла всегда, при любом размере треугольника, будет равен ½. Косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему (либо, что то же самое, отношение синуса к косинусу). Котангенс – это единица, деленная на тангенс.

Стоит упомянуть и знаменитое число Пи (3,14…), которое представляет собой половину длины окружности с радиусом в одну единицу.

Популярные ошибки

Люди, изучающие тригонометрию с нуля, совершают ряд ошибок – в основном по невнимательности.

Во-первых, при решении задач по геометрии необходимо помнить, что использование синусов и косинусов возможно только в прямоугольном треугольнике. Случается, что учащийся «на автомате» принимает за гипотенузу самую длинную сторону треугольника и получает неверные результаты вычислений.

Во-вторых, поначалу легко перепутать значения синуса и косинуса для выбранного угла: напомним, что синус 30 градусов численно равен косинусу 60, и наоборот. При подстановке неверного числа все дальнейшие расчёты окажутся неверными.

В-третьих, пока задача полностью не решена, не стоит округлять какие бы то ни было значения, извлекать корни, записывать обыкновенную дробь в виде десятичной. Часто ученики стремятся получить в задаче по тригонометрии «красивое» число и сразу же извлекают корень из трёх, хотя ровно через одно действие этот корень можно будет сократить.

Этимология слова «синус»

История слова «синус» поистине необычна. Дело в том, что буквальный перевод этого слова с латыни означает «впадина». Всё потому, что верное понимание слова затерялось при переводе с одного языка на другой.

Названия базовых тригонометрических функций произошли из Индии, где понятие синуса обозначалось словом «тетива» на санскрите - дело в том, что отрезок вместе с дугой окружности, на которую он опирался, походил на лук. Во времена расцвета арабской цивилизации индийские достижения в области тригонометрии были заимствованы, и термин перешел в арабский язык в виде транскрипции. Случилось так, что в этом языке уже было похожее слово, обозначающее впадину, и если арабы понимали фонетическую разницу между родным и заимствованным словом, то европейцы, переводящие научные трактаты на латынь, по ошибке буквально перевели арабское слово, никакого отношения к понятию синуса не имеющее. Им мы и пользуемся по сей день.

Таблицы значений

Существуют таблицы, в которые занесены числовые значения для синусов, косинусов и тангенсов всех возможных углов. Ниже представим данные для углов в 0, 30, 45, 60 и 90 градусов, которые необходимо выучить как обязательный раздел тригонометрии для «чайников», благо запомнить их довольно легко.

Если случилось так, что числовое значение синуса или косинуса угла «вылетело из головы», есть способ вывести его самостоятельно.

Геометрическое представление

Начертим круг, через его центр проведем оси абсцисс и ординат. Ось абсцисс располагается горизонтально, ось ординат – вертикально. Обычно они подписываются как «X» и «Y» соответственно. Теперь из центра окружности проведем прямую таким образом, чтобы между ней и осью X получился нужный нам угол. Наконец, из той точки, где прямая пересекает окружность, опустим перпендикуляр на ось X. Длина получившегося отрезка будет равна численному значению синуса нашего угла.

Данный способ весьма актуален, если вы забыли нужное значение, например, на экзамене, и учебника по тригонометрии под рукой нет. Точной цифры вы таким образом не получите, но разницу между ½ и 1,73/2 (синус и косинус угла в 30 градусов) вы точно увидите.

Применение

Одними из первых специалистов, использующих тригонометрию, были моряки, не имеющие никакого другого ориентира в открытом море, кроме неба над головой. Сегодня капитаны кораблей (самолётов и других видов транспорта) не ищут кратчайший путь по звёздам, зато активно прибегают к помощи GPS-навигации, которая без использования тригонометрии была бы невозможна.

Практически в каждом разделе физики вас ждут расчёты с использованием синусов и косинусов: будь то приложение силы в механике, расчёты пути объектов в кинематике, колебания, распространение волн, преломление света – без базовой тригонометрии в формулах просто не обойтись.

Ещё одна профессия, которая немыслима без тригонометрии – это геодезист. Используя теодолит и нивелир либо более сложный прибор – тахиометр, эти люди измеряют разницу в высоте между различными точками на земной поверхности.

Повторяемость

Тригонометрия имеет дело не только с углами и сторонами треугольника, хотя именно с этого она начинала своё существование. Во всех областях, где присутствует цикличность (биологии, медицине, физике, музыке и т. д.) вы встретитесь с графиком, название которого наверняка вам знакомо - это синусоида.

Такой график представляет собой развёрнутую вдоль оси времени окружность и внешне похож на волну. Если вы когда-нибудь работали с осциллографом на занятиях по физике, вы понимаете, о чем идет речь. Как музыкальный эквалайзер, так и прибор, отображающий сердечные ритмы, используют формулы тригонометрии в своей работе.

В заключение

Задумываясь о том, как выучить тригонометрию, большинство учащихся средней и старшей школы начинают считать её сложной и непрактичной наукой, поскольку знакомятся лишь со скучной информацией из учебника.

Что касается непрактичности - мы уже увидели, что в той или иной степени умение обращаться с синусами и тангенсами требуется практически в любой сфере деятельности. А что касается сложности… Подумайте: если люди пользовались этими знаниями больше двух тысяч лет назад, когда взрослый человек имел меньше знаний, чем сегодняшний старшеклассник, реально ли изучить данную область науки на базовом уровне лично вам? Несколько часов вдумчивых занятий с решением задач – и вы достигнете своей цели, изучив базовый курс, так называемую тригонометрию для «чайников».

www.syl.ru

Тригонометрия

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований

К оглавлению...

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

  1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
  2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
  3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
  4. Верьте, что всё будет хорошо.

Основные тригонометрические формулы

К оглавлению...

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Дополнительные тригонометрические формулы

К оглавлению...

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени. Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла. Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

Тригонометрические формулы приведения

К оглавлению...

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

  • Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
  • Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
  • При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Тригонометрическая окружность

К оглавлению...

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения

К оглавлению...

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

  • Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
  • Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
  • При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
  • Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
  • Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
  • Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
  • Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (адрес электронной почты и ссылки в социальных сетях здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

educon.by

Тригонометрические функции - это... Что такое Тригонометрические функции?

Рис. 1 Графики тригонометрических функций:      синуса      косинуса      тангенса      котангенса      секанса      косеканса

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся:

прямые тригонометрические функции
  • синус (sin x)
  • косинус (cos x)
производные тригонометрические функции
  • тангенс (tg x)
  • котангенс (ctg x)
другие тригонометрические функции
  • секанс (sec x)
  • косеканс (cosec x)

В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x.

Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т.д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.

Синус и косинус вещественного аргумента являются периодическими непрерывными и неограниченно дифференцируемыми вещественнозначными функциями. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и неограниченно дифференцируемые на области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках ±πn + π/2, а котангенс и косеканс — в точках ±πn.

Рис. 2 Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Измерим углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим xB, ординату обозначим yB (см. рисунок).

  • Синусом называется отношение
  • Косинусом называется отношение
  • Тангенс определяется как
  • Котангенс определяется как
  • Секанс определяется как
  • Косеканс определяется как
Рис. 3 Численные значения тригонометрических функций угла в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате yB, а косинус — абсциссе xB. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — вещественное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов
Рис. 4 Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

  • Синусом угла α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
  • Косинусом угла α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
  • Тангенсом угла α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему).
  • Котангенсом угла α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему).
  • Секансом угла α называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету).
  • Косекансом угла α называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см.: Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

с начальными условиями , то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где

 — числа Бернулли,  — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2) 360° (2π)
Значения косинуса и синуса на окружности.

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Основная статья: Тригонометрические тождества

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Непрерывность

Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва котангенс и косеканс —

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции  — периодические с периодом 2π, функции и  — c периодом π.

Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

Некоторые формулы приведения:

Формулы сложения

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

Формулы для кратных углов

Формулы двойного угла:

Формулы тройного угла:

Прочие формулы для кратных углов:

следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для Гамма-функции

Формулы половинного угла:

Произведения

Формулы для произведений функций двух углов:

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени

Суммы

Для функций от аргумента существует представление:

где угол находится из соотношений:

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

Тригонометрические функции комплексного аргумента

Определение

Формула Эйлера:

позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

где

Соответственно, для вещественного x,

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:

  • комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
  • все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

Комплексные графики

На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.

Тригонометрические функции в комплексной плоскости

История названий

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современные краткие обозначения sin и cos введены Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году.

См. также

Литература

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
  • Г. Б. Двайт Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.

Ссылки

dic.academic.ru

ТРИГОНОМЕТРИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЯ – (от греч. trigwnon – треугольник и metrew – измеряю) – математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.

Термин «тригонометрия» ввел в употребление в 1595 немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. К концу 16 в. большинство тригонометрических функций было уже известно, хотя само это понятия еще не существовало.

В тригонометрии выделяют три вида соотношений: 1) между самими тригонометрическими функциями; 2) между элементами плоского треугольника (тригонометрия на плоскости); 3) между элементами сферического треугольника, т.е. фигуры, высекаемой на сфере тремя плоскостями, проходящими через ее центр. Тригонометрия началась именно с наиболее сложной, сферической части. Она возникла прежде всего из практических нужд. Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море или направление движения каравана в пустыне. Наблюдения за звездным небом с незапамятных времен вели и астрологи.

Естественно, все измерения, связанные с расположением светил на небосводе, – измерения косвенные. Прямые могли быть проведены только на поверхности Земли, но и здесь далеко не всегда удавалось непосредственно определить расстояние между какими-то пунктами и тогда вновь прибегали к косвенным измерениям. Например, вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от какого-нибудь шеста, высота которого была известна. Аналогичным образом вычисляли и размеры острова в море. Подобные задачи сводятся к анализу треугольника, в котором одни его элементы выражают через другие. Этим и занимается тригонометрия. А поскольку звезды и планеты представлялись древним точками на небесной сфере, то сначала стала развиваться именно сферическая тригонометрия. Ее считали разделом астрономии.

А начиналось все очень давно. Первые отрывочные сведения по тригонометрии сохранились на клинописных табличках Древнего Вавилона. Астрономы Междуречья научились предсказывать положение Земли и Солнца и именно от них к нам пришла система измерения углов в градусах, минутах и секундах, потому что у вавилонян была принята шестидесятеричная система счисления.

Однако первые по-настоящему важные достижения принадлежат древнегреческим ученым. Например, 12-я и 13-я теоремы второй книги Начал Евклида (конец 4–3 в. до н. э.) выражают по существу теорему косинусов. Во 2 в. до н.э. астроном Гиппарх из Никеи (180–125 до н.э.) составил таблицу для определения соотношений между элементами треугольников. Такие таблицы нужны потому, что значения тригонометрических функций нельзя вычислить по аргументам с помощью арифметических операций. Тригонометрические функции приходилось рассчитывать заранее и хранить в виде таблиц. Гиппарх подсчитал в круге заданного радиуса длины хорд, отвечающих всем углам от 0 до 180°, кратным 7,5°. По существу, это таблица синусов. Труды Гиппарха до нас не дошли, но многие сведения из них включены в Альмагест (II в.) – знаменитое сочинение в 13 книгах греческого астронома и математика Клавдия Птолемея (ум. ок.160 н. э.). Древние греки не знали синусов, косинусов и тангенсов, вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволявшие находить хорду окружности по стягиваемой дуге. В Альмагесте автор приводит таблицу длин хорд окружности радиуса в 60 единиц, вычисленных с шагом 0,5° с точностью до 1/3600 единицы, и объясняет, как эта таблица составлялась. Труд Птолемея несколько веков служил введением в тригонометрию для астрономов.

Чтобы понять, как ученые древности составляли тригонометрические таблицы, надо познакомиться с методом Птолемея. Метод основан на теореме – произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Пусть ABCD – вписанный четырехугольник, АD – диаметр окружности, а точка O – ее центр (рис. 1). Если известно, как вычислять хорды, стягивающие углы DOC = a и DОВ = b, т. е. сторону СD и диагональ B, то, по теореме Пифагора, из прямоугольных треугольников АDВ и АDС можно найти АВ и АС, а потом, по теореме Птолемея, – BC = (АС·ВD – АВ·СD) /АD, т.е. хорду, стягивающую угол ВОС = b – a. Некоторые хорды, например стороны квадрата, правильных шестиугольника и восьмиугольника, отвечающие углам 90, 60 и 45°, легко определить. Известна также сторона правильного пятиугольника, которая стягивает дугу в 72°. Приведенное выше правило позволяет вычислять хорды для разностей этих углов, например для 12° = 72° – 60°. Кроме того, можно находить хорды половинных углов, однако этого недостаточно, чтобы рассчитать, чему равна хорда дуги в 1°, – хотя бы потому, что все названные углы кратны 3°. Для хорды 1° Птолемей нашел оценку, показав, что она больше 2/3 хорды (3/2)° и меньше 4/3 хорды (3/4)° – двух чисел, совпадающих с достаточной для его таблиц точностью.

Если греки по углам вычисляли хорды, то индийские астрономы в сочинениях 4–5 вв. перешли к полухордам двойной дуги, т.е. в точности к линиям синуса (рис. 2). Они пользовались и линиями косинуса – вернее, не его самого, а «обращенного» синуса, получившего позднее в Европе название «синус-верзус», сейчас эта функция, равная 1 – cos a, уже не употребляется. Впоследствии тот же подход привел к определению тригонометрических функций через отношения сторон прямоугольного треугольника.

За единицу измерения отрезков MP, OP, PA принималась дуговая минута. Так, линия синуса дуги AB = 90° есть OB – радиус окружности; дуга AL, равная радиусу, содержит (округленно) 57°18' = 3438'.

Дошедшие до нас индийские таблицы синусов (древнейшая составлена в 4–5 веке н.э.) не столь точны, как птолемеевы; они составлены через 3°45' (т.е. через 1/24 часть дуги квадранта).

Термины «синус» и «косинус» пришли от индийцев, не обошлось и без любопытного недоразумения. Полухорду индийцы называли «ардхаджива» (в переводе с санскрита – «половина тетивы лука»), а потом сократили это слово до «джива». Мусульманские астрономы и математики, получившие знания по тригонометрии от индийцев, восприняли его как «джиба», а затем оно превратилось в «джайб», что на арабском языке означает «выпуклость», «пазуха». Наконец, в 7 в. «джайб» буквально перевели на латынь словом «sinus», которое не имело никакого отношения к обозначаемому им понятию. Санскритское «котиджива» – синус остатка (до 90°), а на латинском – sinus complementi, т.е. синус дополнения, в 17 в. сократилось до слова «косинус». Наименования «тангенс» и «секанс» (в переводе с латинского означающие «касательная» и «секущая») введены в 1583 немецким ученым Финком.

Большой вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые, например, Аль-Баттани (ок. 900 н.э.). В 10 в. багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа (940–997), присоединил к линиям синусов и косинусов линии тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов. Он дает им те же определения, которые содержатся и в наших учебниках. Абу-ль-Вефа устанавливает и основные соотношения между этими линиями.

Итак, к концу 10 в. ученые исламского мира уже оперировали, наряду с синусом и косинусом, четырьмя другими функциями – тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом; открыли и доказали несколько важных теорем плоской и сферической тригонометрии; использовали окружность единичного радиуса (что позволило толковать тригонометрические функции в современном смысле); придумали полярный треугольник сферического треугольника. Арабские математики составили точные таблицы, например таблицы синусов и тангенсов с шагом в 1' и точностью до 1/700 000 000. Очень важной прикладной задачей была и такая: научиться определять направление на Мекку для пяти ежедневных молитв, где бы ни находился мусульманин.

Особенно большое влияние на развитие тригонометрии оказал Трактат о полном четырехстороннике астронома Насир-эд-Дин из Туса (1201–1274), известного так же под именем ат-Туси. Это было первое в мире сочинение, в котором тригонометрия трактовалась как самостоятельная область математики.

В 12 в. был переведен с арабского языка на латинский ряд астрономических работ, по ним впервые европейцы познакомились с тригонометрией.

Трактат Насир-эд-Дина произвел большое впечатление на немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436–1476). Современники больше знали его под именем Региомонтана (так переводится на латинский название его родного города Кенигсберга, ныне – Калининграда). Региомонтан составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с точностью до седьмой значащей цифры). Он впервые отступил от шестидесятиричного деления радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса. Таким образом, синусы выражались целыми числами, а не шестидесятиричными дробями. До введения десятичных дробей оставался только один шаг, но он потребовал более 100 лет. Труд Региомонтана О треугольниках всех родов пять книг сыграл в европейской математике ту же роль, что и сочинение Насир-эд-Дина в науке мусульманских стран.

За таблицами Региомонтана последовал ряд других, еще более подробных. Друг Коперника Ретик (1514–1576) вместе с несколькими помощниками в течение 30 лет работал над таблицами, законченными и изданными в1596 его учеником Отто. Углы шли через 10'', а радиус делился на 1 000 000 000 000 000 частей, так что синусы имели 15 верных цифр.

Дальнейшее развитие тригонометрии шло по пути накопления и систематизации формул, уточнения основных понятий, становления терминологии и обозначений. Многие европейские математики работали в области тригонометрии. Среди них такие великие ученые, как Николай Коперник (1473–1543), Тихо Браге (1546–1601) и Иоганн Кеплер (1571–1630). Франсуа Виет (1540–1603) дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников, открыл «плоскую» теорему косинусов и формулы для тригонометрических функций от кратных углов. Исаак Ньютон (1643–1727) разложил эти функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе. Леонард Эйлер (1707–1783) ввел и само понятие функции, и принятую в наши дни символику. Величины sin x, cos x и т.д. он рассматривал как функции числа x – радианной меры соответствующего угла. Эйлер давал числу x всевозможные значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он также обнаружил связь между тригонометрическими функциями и экспонентой комплексного аргумента, что позволило превратить многочисленные и зачастую весьма замысловатые тригонометрические формулы в простые следствия из правил сложения и умножения комплексных чисел. Он же ввел и обратные тригонометрические функции.

К концу 18 в. тригонометрия как наука уже сложилась. Тригонометрические функции нашли применение в математическом анализе, физике, химии, технике – везде, где приходится иметь дело с периодическими процессами и колебаниями – будь то акустика, оптика или качание маятника.

Решение любых треугольников, в конечном счете, сводится к решению прямоугольных треугольников (т.е. таких, у которых один из углов – прямой). Поскольку все прямоугольные треугольники с заданным острым углом подобны друг другу, отношения их соответственных сторон одинаковы. Например, в прямоугольном треугольнике ABC отношение двух его сторон, например, катета а к гипотенузе с, зависит от величины одного из острых углов, например А. Отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника и называются тригонометрическими функциями его острого угла. Всего таких отношений в треугольнике шесть, и им отвечают шесть тригонометрических функций (обозначения сторон и углов треугольника на рис. 3).

Синус (отношение противолежащего катета к гипотенузе),

косинус (отношение прилежащего катета к гипотенузе),

тангенс (отношение противолежащего катета к прилежащему),

котангенс (отношение прилежащего катета к противолежащему),

секанс sec A = (отношение гипотенузы к прилежащему катету),

косеканс cosec A = (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

По отношению к углу B («дополнительному» углу по отношению к А) формулы меняются соответственно:

Так как А + В = 90°, то

sin A = cos B = cos (90° – A),

A = ctg B = ctg (90° – A).

Из определений вытекает несколько равенств, связывающих тригонометрические функции одного и того же угла между собой:

С учетом теоремы Пифагора a2 + b2 = c2 можно выразить все шесть функций через какую-нибудь одну.Например, синус и косинус связаны основным тригонометрическим тождеством

sin2A + cos2A = 1.

Некоторые соотношения между функциями:

tg A ctg A = 1,

,

,

.

Эти формулы справедливы и для тригонометрических функций любого угла, но ими надо пользоваться осторожно, поскольку правые и левые части могут иметь разные области определения.

Есть только два прямоугольных треугольника, у которых и углы «хорошие» (выражаются целым или рациональным числом градусов), и хотя бы одно из отношений сторон рационально. Это равнобедренный треугольник (с углами 45, 45 и 90°) и половина равностороннего треугольника (с углами 30, 60, 90°) – как раз те два случая, когда значения тригонометрических функций удается вычислить прямо по определению. Эти значения приведены в таблице

n 0 1 2 3 4
Угол 0 30° 45° 60° 90°
sin

0

1

cos

1

0

tg

0

1

ctg

1

0

Для произвольного треугольника можно доказать теорему синусов:

Отношения, входящие в теорему синусов, имеют простой геометрический смысл. Если описать окружность около треугольника ABC (рис. 4) и провести диаметр BD, то по теореме о вписанном угле РBCD = РA либо, если угол тупой, 180° – А. В любом случае a = BC = BD sin A = 2 R sin A или

где R – радиус описанной окружности треугольника АВС. Это «усиленная» теорема синусов, объясняющая, почему таблицы хорд древних были, по существу, таблицами синусов.

Доказывается и теорема косинусов

с2 = а2 + b2 – 2аb cos С.

позволяющая найти сторону треугольника по двум другим сторонам и углу между ними, а также углы по трем сторонам.

Есть и ряд других соотношений между элементами треугольника, например. теорема тангенсов:

называемая также формулой Региомонтана.

Формулы Мольвейде:

Из теорем синусов и косинусов можно вывести (с помощью тригонометрических тождеств) и другие формулы.

Поскольку площадь треугольника S = 1/2 aha = 1/2 bhb = 1/2 chc . Или

= 1/2 ab sin C = 1/2 bc sin A = 1/2 ca sin B;

Но с учетом формулы Герона:

, где p – полупериметр треугольника,

Для вычисления углов по заданным сторонам пользуются формулами:

Радиусы описанной и вписанной окружностей:

;

.

Можно вывести формулы сложения для синусов и косинусов

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b.

sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

Именно эту формулу использовал Птолемей для составления своей таблицы хорд. (Теперь она называется теоремой Птолемея.) Аналогично можно написать формулы косинуса суммы и разности:

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b,

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b.

Общее определение тригонометрических функций

Пусть точка движется с единичной скоростью по единичной окружности с центром в начале координат О против часовой стрелки (рис. 5). В момент t = 0 точка минует P0 (1; 0). За время t точка проходит дугу длиной t и занимает положение Рt, а значит, угол, на который поворачивается луч, проведенный в эту точку из О, тоже равен t. Таким образом, мы сопоставляем каждому моменту времени, т.е. точке t действительной прямой, точку Рtединичной окружности.

Подобное отображение прямой на окружность иногда называют «намоткой». Если представить действительную ось в виде бесконечной нерастяжимой нити, приложить точку t = 0 к точке P0 окружности и начать наматывать оба конца нити на окружность, то каждая точка t попадет как раз в точку Рt. При этом:

1) точки оси, отстоящие друг от друга на целое число длин окружностей, т, е. на 2pk (k =±1, ± 2, …), попадают в одну и ту же точку окружности;

2) точки t и –t попадают в точки, симметричные относительно Ox;

3) при 0 Ј t Ј p угол P0OPtотложен в полуплоскость у і 0 и равен t (рис. 8).

Три этих условия составляют формальное определение такого отображения – намотки. В силу условия 3 при 0 = t Ј p координаты точки р равны (cos t, sin t). Данное наблюдение и подсказывает определение: косинусом и синусом произвольного числа t называются соответственно абсцисса и ордината точки Рt.

Тангенс тоже можно определить через координаты. Проведем касательную к единичной окружности в точке (1; 0) (рис. 7). Она называется осью тангенсов. Точка Qt пересечения прямой OPt с осью тангенсов имеет координаты (1; sin t/cos t), и ее ордината, по определению, равна tg t. По абсолютной величине это длина отрезка касательной, проведенной из Qt к окружности. Таким образом, само название «тангенс» вполне оправдывается. Кстати, как и секанса: на рис. 9 sec t – отрезок OQt, являющийся, правда, не всей секущей, но ее частью. Наконец, котангенс можно определить как абсциссу точки пересечения OPt с осью котангенсов – касательной к единичной окружности в точке (0, 1): ctg t = cos t / sin t.

Теперь тригонометрические функции определены для всех чисел.

Марина Федосова

www.krugosvet.ru


Смотрите также