Бином ньютона что это такое для чайника


Комбинаторика. Бином Ньютона

Перестановки. Факториал. Размещения. Сочетания.

Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты.

Треугольник Паскаля. Свойства биномиальных коэффициентов.

Общим термином «соединения» мы будем называть три вида комбинаций, составляемых из некоторого числа различных элементов, принадлежащих одному и тому же множеству (например, буквы алфавита, книги в библиотеке, машины на стоянке и т.д.).

Перестановки. Возьмём 

n

различных элементов: 

a

1

,

a

2

,

a

3

, …,

a

n

.

Будем переставлять их всеми возможными способами, сохраняя их количество и меняя лишь

порядок их расположения.

Каждая из полученных таким образом комбинаций называется перестановкой.

Общее

количество

перестановок из

n

элементов

обозначается

Pn

. Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до

n

:

Символ  n!  ( называется факториал ) - сокращённая запись произведения:  1 · 2 · 3 ·  … · ( n – 1 ) · n .

П р и м е р .  Найти число перестановок из трёх элементов:  a, b, c.

Р е ш е н и е .  В соответствии с приведенной формулой:  P3 = 1 · 2 · 3 = 6.                          Действительно,

мы

имеем 6

перестановок:

abc

,

acb

,

bac

,

bca,

cab,

cba.

Размещения.  Будем составлять группы из 

m

различных элементов, взятых из множества, состоящего из 

n

элементов, располагая эти 

m

взятых элементов в различном порядке. Полученные комбинации называются  размещениями из 

n

элементов по

m

.

Их общее количество обозначается:   и равно произведению:

П р и м е р .  Найти число размещений из четырёх элементов  a, b, c, d по два.

Р е ш е н и е .  В соответствии с формулой получим:

                         Вот эти размещения: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

Сочетания.  Будем составлять группы из 

m

различных элементов, взятых из множества, состоящего из

n

элементов, не принимая во внимание порядок расположения этих

m

элементов.

Тогда мы получим сочетания из

n

элементов по

m

.

Их общее количество обозначается    и может быть вычислено по формуле:

Из этой формулы ясно, что

Заметим, что можно составить только одно сочетание из n элементов по n , которое содержит все  n элементов. Формула числа сочетаний даёт это значение, если только принять, что  0! = 1,  что является определением  0! .

В соответствии с этим определением получим:

Общее число сочетаний можно вычислить, пользуясь и другим выражением:

П р и м е р . Найти число сочетаний из пяти элементов:  a, b, c, d, e  по три.

Р е ш е н и е :

                            

                        Эти сочетания:  abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.

Бином Ньютона. Это формула, представляющая выражение ( a + b )

n

  при положительном целом  

n

 в виде многочлена:

            

Заметим, что сумма показателей степеней для  

a

и

b

постоянна и равна

n

.

П р и м е р  1 .

                          ( См. формулу куба суммы двух чисел ).

Числа    называются биномиальными коэффициентами.

Их можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта схема называется треугольником Паскаля:

Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для  n = 1;  вторая - для  n = 2;  третья - для   n = 3 и т.д. Поэтому, если необходимо, например, разложить выражение:

( a + b )7 , 

мы можем получить результат моментально, используя таблицу:

Свойства биномиальных коэффициентов.                                                                                                

1.  Сумма коэффициентов разложения (

a

+

b

) n

  равна 

2 n

.

Для доказательства достаточно положить  a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома Ньютона мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева:

2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.

Это свойство следует из соотношения:

3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна

Для доказательства воспользуемся биномом: Здесь чётные члены имеют знак  « + » , а нечётные - « - ». Так как в результате разложения получается 0, то следовательно, суммы их биномиальных коэффициентов   равны между собой, поэтому каждая из них равна:   что и требовалось доказать.

Назад

www.bymath.net

Бином Ньютона и треугольник Паскаля

Наука и жизнь // Иллюстрации

Блез Паскаль (1623— 1662).

Исаак Ньютон (1643—1727).

Сегодня, как и лет тридцать-сорок назад, абитуриенты на вступительных экзаменах в вуз традиционно опасаются вытянуть билет с вопросом о биноме Ньютона. (Автор формулы — великий английский физик, математик, астроном и философ сэр Исаак Ньютон.) Дело не только в том, что формула кажется сложной. Изучение её то включали в программу средней школы, то выводили за рамки основного курса, но в серьёзных вузах экзаменаторы спрашивали и продолжают спрашивать о биноме Ньютона.

На самом деле бояться тут особенно нечего. Бином Ньютона — формула разложения произвольной натуральной степени двучлена \( (a+b)^n \) в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы «квадрата суммы» \( (a+b)^2 \) и «куба суммы» \( (a+b)^3 \), но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности. Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона:

\[ (a+b)^n = a^n + \frac{n}{1!}a^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2 + \ldots + b^n. \]

В более общем виде формула коэффициентов в биноме записывается так:

\[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где k - порядковый номер слагаемого в многочлене.

Напомним, что факториал — произведение натуральных чисел от 1 до n, то есть \( 1*2*3*\ldots*n \) — обозначается n!, например, \( 4! = 1*2*3*4 = 24 \).

Запомнить формулу действительно непросто. Но попытаемся её проанализировать. Видно, что в любом многочлене присутствуют an и bn с коэффициентами 1. Ясно также, что всякий иной член многочлена выглядит как произведение определённых степеней каждого из слагаемых двучлена (a+b), причём сумма степеней всегда равна n. Например, в выражении \[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] сумма степеней сомножителей во всех членах равна трём (3, 2+1, 1+2, 3). То же самое справедливо и для любой другой степени. Вопрос лишь в том, какие коэффициенты следует ставить при членах.

Видимо, для того чтобы облегчить труд школяров и студентов, великий французский математик и физик Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов — «треугольник Паскаля».

Строится он следующим образом.В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению \( (a+b)^0, \) поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень:\( (a+b)^1 = a+b. \) Идём дальше. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними — сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:

\[ a^2 + 2ab + b^2. \]

Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними — суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения « куба суммы ». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.

Для примера с помощью треугольника Паскаля разложим в многочлен сумму двучленов в шестой степени:

\[ (a + b)^6 = a^6+6a^5b + 15a^4b^2+20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6. \]

Всё очень несложно и запоминается на всю жизнь. Кстати, самостоятельно вспомнить и вывести формулу бинома Ньютона, нарисовав на черновике треугольник Паскаля, тоже намного проще.

Некоторые историки науки приписывают Блезу Паскалю авторство не только треугольника, позволяющего находить биномиальные коэффициенты, но и самой формулы бинома. Они считают, что Паскаль вывел её несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней.

www.nkj.ru

Формула бинома Ньютона. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Вспомним некоторые формулы сокращенного умножения.

– формула квадрата суммы. Рассмотрим, как вывести эту формулу.

 раскрываем скобки, перемножая почленно:

Аналогично, для куба суммы:

 

Раскрываем скобки, почленно перемножая, получаем:

 

Когда необходимо будет возвести сумму в более высокую степень, умножать почленно скобку на скобку будет проблематично. В этом нам поможет формула бинома Ньютона. По определению, бином – это двучлен, то есть сумма двух слагаемых.

Формула бинома Ньютона позволяет возводить сумму двух слагаемых в любую степень.

 

Попробуем раскрыть скобки. Выберем из каждой скобки . Получим . Предположим, что из  скобки выбрать , а из одной скобки выбрать , получим . Но получится такое произведение не один раз, как и в случае с формулами квадрата суммы и куба суммы. Ведь  можно выбрать из 1-й скобки, из 2-й скобки и так далее. Количество вариантов выбрать. получим 

Предположим, что из  скобок выберем число , а из оставшихся  скобок выберем число . Получим .

Сколько способов из  скобок выбрать число ? То есть из  скобок выбрать  скобок, из которых выбрать число .  Это в точности сочетание: выбрать  объектов из  без учёта порядка, а это . Получаем

Подставляя все возможные k от 0 до n, получим формулу бинома Ньютона:

Перепишем формулу. Заметим, что в формуле есть  и .

 – это количество способов выбрать из  объектов один. Таких способов . Поэтому в формуле можно заменить на , а можно заменить на так как количество способов выбрать из  объектов один равно количеству способов выбрать из  объектов . Ведь выбрать  – то же самое, что не выбрать .

Получим:

Формула бинома Ньютона: =.

Пример.

. В данном решение был изменен порядок следования: начали не с , а с . Разницы нет, так как  или же:

Чтоб дописать формулу четвертой степени суммы, нужно знать значение  (по треугольнику Паскаля (Источник). 

=.

Пример.

Найдем квадрат суммы по формуле бинома Ньютона: =.

Пример. Получение формулы бинома Ньютона для разности

Подставим вместо  в формулу бинома Ньютона :

Получим  степень для суммы и  Когда в соответствующем примере из формулы бинома Ньютона число  в четной степени – знак «-» уйдет, когда в нечетной степени – останется.

Формула бинома Ньютона для разности:

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. Разложить выражение  по формуле бинома Ньютона.
  2. Разложить выражение  по формуле бинома Ньютона.
  3. Разложить выражение  по формуле бинома Ньютона.
  4. Вычислить число сочетаний .
  5. Вычислить число сочетаний .
Page 2

На данном уроке мы вспомним понятия размещения, перестановки и сочетания. Выясним, как вычислять количество вариантов в каждом случае, рассмотрим, как поступать при наличии одинаковых объектов. Также научимся видеть разницу между размещением и сочетанием и решим простейшие примеры.

Задача

В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами можно предсказать тройку призеров?

Решение

Данная задача решается способом произведения. На первое место можно выбрать 16 вариантов, на второе только 15 оставшихся, на третье, соответственно, 14. Итого:

Задачи подобного типа, где из  вариантов нужно выбрать , причем порядок их следования важен (в данном случае важно, кто займет первое место, кто второе, кто третье) называются размещением:

Задача

У девочки Ксюши есть 5 поклонников. Она хочет сходить вечером на два фильма, причем не с одним и тем же поклонником. Сколькими способами можно сделать выбор?

Решение

В данной задаче порядок важен. Поэтому используем формулу размещения:

С другой стороны, можно воспользоваться правилом произведения. На первый фильм есть пять вариантов, на второй 4, итого:

Рассмотрим частный случай размещения, когда из  элементов нужно выбрать все  элементов, порядок по-прежнему важен. Такой частный случай называется перестановкой:

Задача

Сколькими способами можно расставить класс из 30 человек в шеренгу?

Решение

В данном случае имеем частный случай размещения – перестановку. Так:

Уравнения в комбинаторике

Пример

Здесь очевидны некоторые ограничения:  – иначе не имеет смысла выражение , кроме того,

Остается решить обыкновенное квадратное уравнение: ; .

Второй корень не подходит исходя из ограничений.

Ответ: .

Пример

Сколько существует способов переставить буквы в слове стол? В слове каша?

Решение

Очевидно, что в первом случае это число перестановок: .

Во втором же случае следует обратить внимание на то, что некоторые буквы совпадают. Для решения поставим буквам  индексы 1 и 2 – теперь это разные буквы  и .

Теперь ответ такой же, как и в первом случае –

Теперь отметим, что каждой перестановке слова  соответствует такая же перестановка, где буквы  стоят наоборот: .

Так, ответ на поставленный вопрос: .

Интересно знать!

Пример

Найти количество способов переставить буквы в слове молоко.

Решение

По аналогии пронумеруем буквы , тогда количество перестановок

Теперь проанализируем. Для каждого варианта перестановки существует ряд вариантов, которые отличаются только индексам букв . найдем количество этих вариантов. Очевидно, что это число перестановок

Так, ответ в задаче: 

Пример

Найти количество способов переставить буквы в слове математика.

Решение

Здесь повторяются три комплекта букв. Решим задачу в три этапа. Сначала по аналогии с предыдущими случаями нумеруем все повторяющиеся буквы – отдельно буквы , отдельно , отдельно : .

В этом слове количество перестановок

Теперь разберемся с буквами . для каждого варианта перестановки есть такой же, который отличается индексами букв . тогда искомое количество перестановок уменьшится в два раза: .

Аналогично для букв : .

Для букв  количество вариантов уменьшится в  раз.

Итого: 

Пример

В поход пошло 4 человека. Сколькими способами можно выбрать пару дежурных, которые утром приготовят завтрак?

Решение

При первом взгляде на задачу кажется, что ответом будет количество размещений .

Обратим внимание, что порядок в данном случае не важен, то есть пара дежурных Вася и Петя или пара Петя и Вася – это одна и та же пара, два варианта превращаются в один, поэтому искомое количество вариантов:

Задачи такого типа, где порядок не важен, называются задачами о сочетаниях – в них требуется выбрать группу объектов, порядок которых не важен.

Определение

Сочетанием из  элементов по  называется любой выбор из  элементов  элементов, при этом порядок выбора не важен. Иногда сочетание называют выборкой. Число сочетаний вычисляется по формуле:

Очень важно понимать, когда порядок важен, а когда нет. В примере про дежурных порядок не важен, но если немного поменять условие: выбрать дежурных так, чтобы один отвечал за костер, а второй за мытье посуды – то порядок уже будет важен.

Пример

В команде 11 человек, нужно выбрать капитана и вице-капитана. Сколькими способами это можно сделать?

Решение

Очевидно, что в данном случае порядок важен, поэтому ответом будет размещение: .

Пример

В команде из 11 человек нужно выбрать пару защитников. Сколькими способами это можно сделать?

Решение

Здесь порядок не важен – в паре защитников не имеет значения, кто первый, а кто второй, поэтому здесь ответом будет число сочетаний: .

Пример

Сколько способов существует составить трехцветный полосатый флаг (полосы горизонтальные), если есть 6 полос различных цветов?

Решение

В данном случае порядок важен, так как, например, выбрав белый, синий и красный, в зависимости от порядка можем получить флаг России или флаг Сербии. Поэтому здесь имеем число размещений: .

Пример

Сколькими способами учитель может выбрать две задачи из 20 для контрольной работы?

Решение

Здесь порядок не важен, не важно какая задача будет первой, а какая второй, поэтому ответ – число сочетаний: .

Итак, мы вспомнили понятия перестановки, размещения, сочетания, формулы для вычислений и определения, а также решили несколько примеров.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – 10-е изд. – М.: Мнемозина, 2009. – 399 с.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2013.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2011.

4. Алимов А.Ш. Алгебра и начала математического анализа. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Единая коллекция ЦОР (Источник)

2. Интернет-сайт hijos.ru (Источник)

3. Интернет-сайт 100formul.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

2. Сколько четырехзначных чисел можно составить из четырех карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

3.  В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

4. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

5. В шахматном турнире участвует  человек и каждый с каждым играет по 1 партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?

interneturok.ru

Бином Ньютона

Справочник по математикеАлгебраФормулы сокращенного умножения

      В Таблице 1 из раздела «Формулы сокращенного умножения» приведены формулы для натуральных степеней бинома

(x + y)n

в случаях, когда   n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

      В настоящем разделе рассматривается общий случай этой формулы, т.е. случай произвольного натурального значения  n .

      Материал настоящего раздела близко связан с материалом разделов «Формулы сокращенного умножения: степень суммы и степень разности», «Треугольник Паскаля» и «Комбинаторика: размещения и сочетания».

      Утверждение. Для любого натурального числа   n   и любых чисел  x  и  y  справедлива формула бинома Ньютона:

(1)

где

(2)

– числа сочетаний из  n  элементов по  k  элементов.

      В формуле (1) слагаемые

называют членами разложения бинома Ньютона, а числа сочетаний  – коэффициентами разложения или биномиальными коэффициентами.

      Если в формуле (1) заменить   y   на   – y ,   то мы получим формулу для   n - ой степени разности:

Связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

      Напомним, что треугольник Паскаля имеет следующий вид:

Треугольник Паскаля
01
11     1
21     2     1
31     3     3     1
41     4     6     4     1
51     5     10     10     5     1
61     6     15     20     15     6     1

      Поскольку числа, составляющие треугольник Паскаля, являются биномиальными коэффициентами, то треугольник Паскаля можно переписать в другом виде:

Треугольник Паскаля
0
1
2
3
4
5
6
Треугольник Паскаля
Треугольник Паскаля

Свойства биномиальных коэффициентов

      Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

1
2
3
4

к доказательству которых мы сейчас и переходим.

      Докажем сначала равенство 1.

      Это равенство отражает основное свойство треугольника Паскаля, заключающееся в том, что в каждой из строк треугольника Паскаля, начиная со строки с номером   2 ,   между числами   1   стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

      Для доказательства равенства 1 воспользуемся формулой (2):

что и требовалось.

      Для доказательства равенства 2 положим в формуле бинома Ньютона (1)    x = 1,   y = 1.

      Если же в формуле бинома Ньютона (1) взять   x = 1,   y = –1, то получится равенство 3.

      Перейдем к доказательству равенства 4. С этой целью положим в формуле бинома Ньютона (1)    y = 1

(3)

      Воспользовавшись очевидным равенством

перепишем формулу (3) в другом виде

(4)

      Если теперь перемножить формулы (3) и (4), то мы получим равенство:

(5)

      Если к левой части формулы (5) применить формулу бинома Ньютона, а затем, раскрыв в правой части скобки и приведя подобные члены, приравнять коэффициенты при   xn в левой и в правой частях, то мы получим следующее равенство:

что и требовалось.

www.resolventa.ru

Формула бинома Ньютона

Выведем формулу, позволяющую возводить двучлен (бином) (а+b) в любую целую неотрицательную сте­пень. Это формула бинома Ньютона. Она имеет следующий вид:

.

Докажем данную формулу методом математической индукции по n, где n≥0. 

  1. Формула верна при n = 0, 1, 2. В самом деле,

;

;;

  1. Пусть формула верна при n = k. Докажем ее при n = k + 1.

.

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые по степеням а, получим:

.

С учетом свойства 4 и того, что  и  , имеем:

Итак, индукция завершена, значит истинность формулы доказана.

В формуле бинома Ньютона для (а + b)n сумма степеней а и b в каждом слагаемом равна n. Числа  называются биномиаль­ными коэффициентами. При вычислении биномиальных коэффициен­тов удобно применять треугольник Паскаля.

В качестве примера найдем:  а) (a + b)5;   б) (х2-1)4:

а)

;

б)

Легко убедиться, что хорошо известные формулы сокращенного ум­ножения для (a + b)2 и (a + b)3 представляют собой частные случаи фор­мулы бинома Ньютона.

Упражнения

             а) ;

             б) ;

             в) .

  1. Напишите разложение по формуле бинома Ньютона и упростите при необходимости:

 а) (a + b)4;  б) (a ― b)4;  в) (a + 2b)5;  г) (a – 2b)5;

 д) (1 + 2x)5; е) ; ж) ;  з) ;

 и) ; к) ;  л) ; м) ;

 н) ;  о) ;  п) ;

ж) ;  з) ;   и) ;

 к) ; л) ;  м) ;

а) шестой член разложения (1 ― 2z)21;

б) шестой член разложения   ;

в) пятый член разложения ;

г) пятый член разложения ;

д) два средних члена разложения (a3-ab)23;

е) в разложении  член, не содержащий x;

ж) в разложении  член, не содержащий z;

з) в разложении    коэффициент при а8;

и) в разложении   коэффициент при х4;

к) x, если третий член разложения (х +xlg x)5 равен 106 .

Самостоятельная работа по теме «Множества и элементы комбинаторики»

  1. В конкурсе красоты участвуют 20 девушек. Сколько может быть вариантов распределения пяти призовых мест в этом конкурсе?

  1. Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом?

а) шестой член разложения бинома ;

б) два средних члена разложения бинома .

  1. Записать разложение бинома .

  1. В селении проживают 2000 жителей. Доказать, что по крайней мере двое имеют одинаковые инициалы.

Соответствия и отношения

Основные знания, умения и навыки, которыми должны овладеть студенты в процессе изучения этой темы:

  • понимать смысл неопределяемых понятий «соответствие», «отношение»;

  • знать свойства соответствий и отношений, уметь их определять и приводить конкретные примеры;

  • знать основные типы соответствий и отношений.

Основные понятия темы: соответствие, отношение.

Пусть даны два произвольных множества A и B.

О п р е д е л е н и е 1. Декартовым (прямым) произведением множеств А и В называют множество, состоящее из всех упорядоченных пар вида , где и .

Символически это множество записывают так:

,

П р и м е р 1: Если А={1, 2, 3}, а В={0, 4}, то

;

.

Видим, что в общем случае .

Пусть даны два произвольных множества X, Y.

        Тройка множеств , где , будем называть бинарным соответствием между множеством X и Y, множество A ― его графиком, множество X ― областью отправления, Y ― областью прибытия.

Если , то говорят, что элемент x находится с элементом y в соответствии f и пишут x f y, то есть .

З а м е ч а н и е: Часто понятие бинарного соответствия определяют как любое подмножество А множества , то есть отождествляют его с графиком соответствия.

Множество называют областью определения соответствия f.

Множество называют областью значения соответствия f.

П р и м е р 1. Пусть , . Тогда тройка множеств , где  и   будет задавать соответствие между множествами R и R, графиком которого будет парабола. D(f)=R, E(f)=R+. .

П р и м е р 2: Пусть , .  . , . График   этого   соответствия   пред­ставляет собой полуплоскость.

Множество называют полным образом элемента x при соответствии f. 

Множество называют полным прообразом элемента у при соответствии f.

Из определения и следует, что .

П р и м е р 3: Пусть X ― множество студентов в аудитории, У ― множе­ство столов, за которым они сидят. Зададим соответствие х f у «студент x сидит за столом y». Тогда:

  1. Областью отправления этого соответствия будет множество всех студентов в аудитории;

  2. Областью определения ― множество студентов, которые сидят за столами;

  3. Областью прибытия ― множество столов в аудитории.

  4. Областью значений ― множество столов, за которыми  сидит хотя бы один студент;

  5. Графиком соответствия будет множество пар «студент- стол»

  6. Полным прообразом студента х будет стол, за которым он сидит;

  7. Полным прообразом стола у будут все студенты, которые за ним сидят.

П р и м е р 4:

Этот рисунок задает соответствие между множествами:

и

График этого соответствия . , ,  , , , , , . 

Из рассмотренных выше примеров видно, что соответствие может быть задано:

а) путем указания подмножества (графически);

б) аналитически; х f у  у = f (х);

в) с помощью графов или таблиц.

Графом называют множество точек, некоторые пары из которых соединены линиями с направлениями (см. пример 4).

studfiles.net

Бином ньютона - это... Что такое Бином ньютона?

  • бином ньютона — БИНОМ, а, м. (или бином ньютона). Ирон. О чем л. кажущемся сложным, запутанным. Возм. распространилось под влиянием романа М. Булгакова «Мастер и Маргарита» …   Словарь русского арго

  • БИНОМ НЬЮТОНА — БИНОМ НЬЮТОНА, математическое правило разложения алгебраического выражения (а+b)n в ряд степеней численных значений х и у (где n положительное число). При n 2 разложение выглядит таким образом: (х+у)2=х2+2ху+у2 …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Бином Ньютона — Бином Ньютона  формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид , где   биномиальные коэффициенты,   неотрицательное целое число. В таком виде эта формула была известна… …   Википедия

  • Бином Ньютона — алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно: (х + а)n = хn + n/1(axn 1) + [n/(n 1)/1.2](а2хn 2) + …[n(n 1)(n 2)…(n m+1)/1.2.3…m](anxn m) + … или, в компактной форме, пользуясь символом n! =… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Бином Ньютона — Разг. Шутл. О чём л. сложном, запутанном. Елистратов, 41 …   Большой словарь русских поговорок

  • Подумаешь, бином Ньютона! — Из романа (гл. 18 «Неудачливые визитеры») «Мастер и Маргарита» (1940) Михаила Афанасьевича Булгакова (1891 1940). Слова Коровьева Фагота, комментирующего диалог между Воландом и буфетчиком Андреем Фокичем Соковым. Последний пришел жаловаться на… …   Словарь крылатых слов и выражений

  • бином — а, м. binôme, лат. binomia m. 1. мат. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность одночленов; двучлен. БАС 2. Боюсь, еслиб я и осмелился представить здесь самое простое развитие двучленника (бинома) Ньютонова необходимого для сего …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • Ньютона бином — Бином Ньютона  это формула , где   биномиальные коэффициенты, n  неотрицательное целое число. Содержание 1 Доказательство …   Википедия

  • БИНОМ — (от лат. bis дважды, и греч. nomos часть, отдел). Двучлен (в алгебре). Бином Ньютона общая формула для возведения двучленного количества в любую степень. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. БИНОМ в… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Бином — (лат. bis  дважды, nomen  имя) или двучлен частный случай полинома (многочлена), состоящего из двух слагаемых мономов (одночленов). Например: Для вычисления степеней биномов используется бином Ньютона: А также …   Википедия

dic.academic.ru


Смотрите также