Аликвотные дроби что это такое


МАТВОКС ⋆ Аликвотные дроби и действия с ними ⋆ Энциклопедия математики

Перейти к содержанию

Аликвотная дробь – это дробь, у которой числитель единица:

Иногда при решении задач удобно представить некоторую дробь в виде суммы двух или нескольких аликвотных дробей.

Для этого:

  • числитель и знаменатель исходной дроби умножаем на сумму двух взаимно простых делителей знаменателя;
  • затем полученную дробь заменяем суммой двух дробей, знаменатели которых равны знаменателю полученной дроби, а числители – слагаемые вышеупомянутой суммы.
  • если знаменатель – простое число, то умножаем числитель и знаменатель на число, превышающее знаменатель на единицу:

и:

В общем виде этот метод может быть представлен следующей формулой:

Пример

Пример 1

Разложить дробь на аликвотные дроби:

Решение

Сначала нужно умножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы числитель полученной дроби минимально превышал знаменатель исходной дроби, (т.е. полученный числитель был минимально больше 13). Для этого числитель и знаменатель умножим на 3:

В полученной дроби (15>13), поэтому можем записать:

Теперь представим второе слагаемое в виде суммы аликвотных дробей:

Для этого числитель и знаменатель нужно умножить на такое число, чтобы в числителе было (39+1). Таким числом будет 20:

Ответ:

Разложить на аликвотные дроби:

Решение

Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы числитель стал больше 23:

Теперь представим второе слагаемое в виде суммы аликвотных дробей:

Умножим числитель и знаменатель на такое число, чтобы числитель стал минимально больше знаменателя. Таким числом будет 7:

Итак, получили:

Представим третье слагаемое в виде суммы аликвотных дробей:

Умножим числитель и знаменатель на такое число, чтобы числитель стал минимально больше знаменателя.

Ответ:

Представить дроби в виде суммы аликвотных дробей.

Пример 1

 

Пример 2

Пример 3

Go to Top

Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять

Privacy & Cookies Policy

mathvox.ru

Аликвотные дроби

Городская выставка-конференция школьников

«Юные исследователи - будущее Севера»

Естественные науки и современный мир

Египетские дроби

Автор: Жарко Максим Александрович,

6А класс, МБОУ г. Мурманска СОШ № 36

Научный руководитель: Пономаренко Юлия Андреевна,

учитель математики МБОУ г. Мурманска СОШ № 36

г. Мурманск, 2017

Оглавление.

Введение……………………………………………………………….3

Основная часть

  1. История происхождения………………………………………4

  2. Аликвотные дроби…………………………………………….9

Заключение……………………………………………………………12

Список литературы…………………………………………………..13

Введение.

«Несмотря на то что греки приписывали египтянам мудрость философов, ни один народ не испытывал такого отвращения к отвлеченным размышлениям и не был так чистосердечно предан материальным интересам, как египтяне».1

Из всех наук это утверждение больше всего подходит к математике египтян.

Египтяне были самыми практичными из всех народов древности. Они даже не использовали абстрактных вычислений – всегда после числа в египетском папирусе шло наименование. Они не могли сказать – три плюс два будет пять. Они обязательно говорили – три верблюда плюс два верблюда будет пять верблюдов.

Многочисленные историко-математические исследования показывают, что дробные числа появились у разных народов в древние времена вскоре после натуральных чисел. Появление дробей связывается с практическими потребностями: задачи, где нужно производить деление на части, были очень распространены. Кроме того, в жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины.

Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части. Объектом нашего исследования служат египетские или как принято называть их в математике, аликвотные дроби.

Цель нашей работы изучить практическую значимость применения египетских дробей в современной математике, создать сборник задач

Основная часть.

История происхождения

Основу математики египтян составляли целые числа и аликвотные дроби. Это такие дроби, когда в числителе всегда единица. Египтянин не понимал дробь . Он представлял её в виде суммы дробей . У всех египетских дробей в числителе всегда были единицы.

Даже к числу Пи, которое египтяне единственные из окружающих их соседей отличали от простой «тройки», добавлялась . То есть число Пи у египтян было или . В нашем десятичном исчислении 3.142857. Вполне достойная точность.

Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан Ахмесом в эпоху Второго переходного периода.

В Британском музее хранится папирус, составленный писцом Ахмесом примерно за 1600-1700 лет до нашей эры. Он представляет собой собрание решений 84 задач, имеющих прикладной характер; эти задачи относятся к действиям с дробями, определению площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга (последняя принимается равной площади квадрата со стороной в 8/9 диаметра), объёма прямоугольного параллелепипеда и цилиндра; имеются также арифметические задачи на пропорциональное деление, определение соотношений между количеством зерна и получающегося из него хлеба или пива и т. д.; решение одной задачи (79-й) приводится к вычислению суммы геометрической прогрессии. Однако для решения этих задач не даётся никаких общих правил, не говоря уже о попытках каких-нибудь теоретических обобщений.

Самый большой математический документ - папирус по руководству к вычислениям писца Ахмеса - найден в 1858 году английским коллекционером Райндом. Папирус составлен в XVII веке до нашей эры. Его длина 20 метров, ширина 30 сантиметров. Он содержит 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Часто встречающаяся задача из папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками; разница между каждым человеком и его соседом составляет - 1/8 меры. Средняя доля есть одна мера. Вычти одну из 10; остаток 9. Составь половину разницы; это есть 1/16. Возьми ее 9 раз. Приложи это к средней доле; вычитай для каждого лица по 1/8 меры, пока не достигнешь конца».

Одна из задач этого папируса — разделить 7 хлебов между 8 людьми — решается в характерном для всей египетской математики стиле: каждому проголодавшемуся нужно дать сумму

1/2+1/4+1/8

долей одного хлеба, выраженных аликвотными дробями.

В большинстве случаев для представления некоторой правильной дроби в виде суммы различных египетских дробей достаточно уметь раскладывать в такую сумму всякую дробь вида 2/n. Например, зная разложения

 2 15

=

 1 10

+

 1 30

,

 2 25

=

 1 15

+

 1 75

,

 2 75

=

 1 50

+

  1  150

,

дробь 7/25 можно легко представить суммой различных египетских дробей:

 7 25

=

 1 25

+

 2 25

+

 4 25

=

 1 25

+

 1 15

+

 1 75

+

 2 15

+

 2 75

=

=

 1 10

+

 1 15

+

 1 25

+

 1 30

+

 1 50

+

 1 75

+

  1  150

.

Папирус Ахмеса предваряет таблица, в которой все дроби вида 2/n для нечетных n от 3 до 101 представлены суммами египетских дробей. Эта таблица помогала производить сложные арифметические выкладки согласно принятым канонам. По-видимому, писцы заучивали ее наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения.

Разложение произвольной дроби в сумму аликвотных дробей не единственно. Например, дробь 5/12 представлялась египтянами как сумма 1/4 и 1/6, либо как сумма 1/3 и 1/12. Правильным считался второй вариант, так как 1/3 – самая большая из египетских дробей, меньших 5/12

Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

Египтяне ставили иероглиф:

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в иератических текстах использовали линию.

К примеру:

  

{\displaystyle ={\frac {1}{3}}}

{\displaystyle ={\frac {1}{10}}}

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

{\displaystyle ={\frac {1}{2}}}

{\displaystyle ={\frac {2}{3}}}

{\displaystyle ={\frac {3}{4}}}

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 литра), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

Например, так: 

  

  

{\displaystyle ={\frac {1}{331}}}

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

В египетской письменности irt означает «глаз», а глагол «wḏȝ» — имеет значение «защищать». Таким образом, общий смысл этого знака: «охраняющий глаз». По-видимому, в начертании данного символа нашли отражение как черты человеческого глаза, так и черты сокола.

Так, в одном элементе уаджета, а именно:

учёные усматривают символическое изображение сокола — воплощение бога Гора.

В арифметике египтян составные части Уаджета использовались для написания дробей от 1/2 до 1/64, а также применялись для измерений емкостей и объемов.

Сумма шести знаков, входящих в Уаджет, и приведенных к общему знаменателю: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + ²/64 + 1/64 = 63/64

Иероглиф

Значение

Примерная величина

часть глаза (справа)

1/2 (или 32/64)

зрачок

1/4 (или 16/64)

бровь

1/8 (или 8/64)

часть глаза (слева)

1/16 (или 4/64)

капля слезы (?)

1/32 (или ²/64)

знак сокола (?)

1/64

Уаджет в сумме

63/64

Древние математики высказывали замечания насчет аликвотных дробей. Например, Клавдий Птолемей твердил о неудобстве применения аликвотных дробей в сравнении с системой Вавилона.

Аликвотные дроби

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс  нестандартных задач, в том числе пришедших из глубины веков. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. Разложение дробей вида 2/n и 2/(2n +1) на две аликвотные дроби систематизировано в виде формул

2/n=1/n + 1/n; например, при n = 9 2\9 = 1\9 + 1\9

2/(2n+1)=1/(n+1) + 1/(2n+1)(n+1), например, при n = 2      2/5=1/3 + 1/15

2/(2n+1)=1/(2n+1) + 1/(2n+1) например, при n = 5        2/11=1/6 + 1/66 . 

Разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Чтобы представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула выглядит следующим образом:

1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)

Примеры разложения дробей:

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

Эту формулу можно преобразовать и получить следующее полезное равенство: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

Например, 1/6=1/(2·3)=1/2 -1/3

То есть аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых являются последовательные  числа  равные  их  произведению.

Задача 1. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

а) трех слагаемых 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

б) четырех слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

в) пяти слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

Задача 2. Представьте в виде суммы различных аликвотных дробей следующую дробь:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) ; б) ;

в) ; г) .

Задача 3. В детский сад утром привели 90 детей. В 17.00 забрали из сада половину детей. В 18.00 забрали третью часть детей. В 19.00 забрали шестую часть детей. Сколько детей забирали из сада в разное время?

Решение. , 1/2=45 детей, 1/3=30 детей, 1/6=15 детей.

Ответ. В 17.00 из сада забрали 45 детей, в 18.00 – 30 детей, в 19.00 – 15 детей.

Заключение.

В нынешней математике ученые продолжают исследовать массу задач, которые связаны с аликвотными дробями:

- в конце ХХ ученые смогли дать оценку самого большого знаменателя и длины разложения обычной дроби в аликвотную

- также была выдвинута гипотеза Эрдешом и Грэхемом, которые утверждают, что для любой раскладки целых чисел, которые больше единицы в r0 цветов может существовать конечное подмножество S целых. В 2003 году дана гипотеза была доказана известным математиком Эрнестом Крутом.

На сегодняшний день аликвотные дроби ставят для математиков целый ряд трудных и практически нерушимых математических задач. Решение этих задач занимательное и нестандартное, развивает мышление и логику.

Продолжением работы будет служить сборник задач, позволяющих создать основу для дальнейшего решения задач профильного уровня ЕГЭ.

Список литературы

  1. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И. Е. Феоктистов. Алгебра 7кл.

  2. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.

  3. Глейзер Г. И. История математики в школе: IV – VI кл. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1981.

  4. Бородин А.И. Из истории арифметики. Головное издательство «Ваша школа» - К.,1986.

  5. Строительство и архитектура в Древнем Египте. Авторы: Сомерс Кларк,Рекс Энгельбах

1 Строительство и архитектура в Древнем Египте. Авторы: Сомерс Кларк,Рекс Энгельбах

intolimp.org

Аликвотные дроби.

Аликвотные дроби

Сазанакова Лера, Бабаева Лера

научный руководитель: Воронина Г.П.

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №24» г. Абакан

Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Небольшая историческая справка о задачах на дроби. Эти задачи являются древнейшими из дошедших до нас по письменным источникам; их решение было весьма сложной проблемой до тех пор, пока не изобрели обозначения для обыкновенных дробей, не разработали правила действий с ними. В Древнем Египте, например, существовали иероглифы только для обозначения дробей с числителем 1. Единственным исключением была дробь 2/3, для которой имелось соответствующее обозначение. Не случайно поэтому в тексте одной из задач папируса Ахмеса находим выражение «две трети от трети скота»— выразить эту часть стада дробью 2/9 египтяне еще не могли. В том же папирусе Ахмеса встречается задание «Разделить 7 хлебов между 10 лицами», ответ к которому в современной записи можно выразить так: 2/3 + 1/30. Решение более сложных задач на дроби было для египтян довольно сложной проблемой.

Гораздо позже Анания Ширакаци (Армения, VII в.) записал ответ в одной из задач в виде: 1/4+1/6+1/12+1/22, что выражает дробь 6/11, получающуюся сложением указанных дробей.

Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

Свойства аликвотных дробей

Первое свойство аликвотных дробей.

,на1

Пример

Второе свойство аликвотных дробей.

Пример:

Задача

Можно найти такие пары дробей, разность которых равна их произведению? Приведём примеры.

а) , б) в)

Решение:

Ответ:

Решение олимпиадных задач

1.Найди сумму

+ +…+ =?

Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму

+ +…+ =

И вычесть из нее сумму

+ +…+ + =

- = =0.09

2.Найти сумму

+ + + + + + + + =

  1. 1, b) , c) , d) , e)

+ + + + + + + =

Ответ e)

Применение

1.Аликвотная дробь (математика).2.Аликвотная струна (музыка).

3.Аликвотная часть (химия-физика).4.Аликвотное количество. 5.Аликвотная система.

Пифагор построил для своих экспериментов полуинструмент-полуприбор — «монохорд». Это был продолговатый ящик с натянутой поверх него струной. Под струной, на верхней крышке ящика, Пифагор расчертил шкалу, чтобы удобнее было зрительно делить струну на части. Множество опытов проделал Пифагор с монохордом и, в конце концов, описал математически поведение звучащей струны. Работы Пифагора легли в основу науки, которую мы называем сейчас музыкальной акустикой. С точки зрения физики тетива и струна — одно и то же. Да и сделал человек струну, обратив внимание на свойства тетивы. Звучащая струна колеблется не только целиком, но одновременно и половинками, третями, четвертями и т.д. Подойдём теперь к этому явлению с арифметической стороны. Половинки колеблются вдвое чаще, чем целая струна, трети — втрое, четверти — вчетверо. Словом, во сколько раз меньше колеблющаяся часть струны, во столько же раз больше частота её колебаний. Допустим, вся струна колеблется с частотой 24 герца. Высчитывая колебания долей вплоть до шестнадцатых, мы получим ряд чисел.Эта последовательность частот так и называется — натуральный, т.е. природный, звукоряд.

Заключение

Таким образом, при разработке данной темы, мы узнали, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Выяснили, что каждое рациональное число вида может быть разложено на единичные дроби.

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

  1. Левитас Г. Г. Нестандартные задачи по математике.– М.: ИЛЕКСА,2007.

  2. Баженов И.И., Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар, 1994.

  3. Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.

  4. Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005.

Приложение 2

Требования к оформлению публикации статьи

Текст статьи должен быть набран шрифтом Times New Roman 11 пт, через 1 интервал, без переносов слов в редакторе Word. Поля: сверху, снизу, справа, - 2 см, слева – 25 мм. Объем статьи – 1 стр. формата А4. Язык публикации материалов – русский.

Расположение доклада на странице:

Название доклада - строчными буквами по центру в один абзац на языке публикации материала

Инициалы и фамилия авторов через запятую – по центру в 1 абзац

Научный руководитель - инициалы, фамилия, ученое звание (или ученая степень) – по центру в 1 абзац

Полное название учебного заведения и города – по центру в один абзац курсивом

Текст доклада (первая строка всех абзацев без отступа, выравнивать строки по ширине). Ссылки на источники – цифрами в квадратных скобках.

Пронумерованный список литературы в алфавитном порядке. Фамилии авторов выделяются курсивом.

Примеры:

Для сборников научных трудов, материалов конференций и тезисов докладов:

  1. Исаев А.С. Мониторинг лесных насекомых в бореальных лесах // Аэрокосмические методы и геоинформационные технологии в лесоведении и лесном хозяйстве: Докл. III Всерос. конф., 18-19 апр. 2010 г., Москва. М.: ЦЭПЛ РАН, 2010. С. 43-46.

Иллюстрации (рисунки, фотографии) должны быть высокого качества, контрастные, легко читаемые и оформлены в черно-белом изображении. Иллюстрации размещаются в рамке, компактно, следом за ссылками на них по тексту. Допускается размещение иллюстраций по полю текста в формате «обтекание текстом» (слева или справа).

Таблицы печатаются в формате «Сетка 1» с выравниванием по центру. Таблицы не должны быть громоздкими и разделенными по разным страницам. Допускается печать таблиц шрифтом размером 9 пт.

Изменения и сокращения в тексте, не влияющие на его содержание, вносятся редактором без согласования с автором.

Заявка (по форме Приложение 1) на участие в конференции прилагается на отдельном листе.

Приложение 2

Требования к оформлению публикации статьи

Текст статьи должен быть набран шрифтом Times New Roman 11 пт, через 1 интервал, без переносов слов в редакторе Word. Поля: сверху, снизу, справа, - 2 см, слева – 25 мм. Объем статьи – 1 стр. формата А4. Язык публикации материалов – русский.

Расположение доклада на странице:

Название доклада - строчными буквами по центру в один абзац на языке публикации материала

Инициалы и фамилия авторов через запятую – по центру в 1 абзац

Научный руководитель - инициалы, фамилия, ученое звание (или ученая степень) – по центру в 1 абзац

Полное название учебного заведения и города – по центру в один абзац курсивом

Текст доклада (первая строка всех абзацев без отступа, выравнивать строки по ширине). Ссылки на источники – цифрами в квадратных скобках.

Пронумерованный список литературы в алфавитном порядке. Фамилии авторов выделяются курсивом.

Примеры:

Для сборников научных трудов, материалов конференций и тезисов докладов:

  1. Исаев А.С. Мониторинг лесных насекомых в бореальных лесах // Аэрокосмические методы и геоинформационные технологии в лесоведении и лесном хозяйстве: Докл. III Всерос. конф., 18-19 апр. 2010 г., Москва. М.: ЦЭПЛ РАН, 2010. С. 43-46.

Иллюстрации (рисунки, фотографии) должны быть высокого качества, контрастные, легко читаемые и оформлены в черно-белом изображении. Иллюстрации размещаются в рамке, компактно, следом за ссылками на них по тексту. Допускается размещение иллюстраций по полю текста в формате «обтекание текстом» (слева или справа).

Таблицы печатаются в формате «Сетка 1» с выравниванием по центру. Таблицы не должны быть громоздкими и разделенными по разным страницам. Допускается печать таблиц шрифтом размером 9 пт.

Изменения и сокращения в тексте, не влияющие на его содержание, вносятся редактором без согласования с автором.

Заявка (по форме Приложение 1) на участие в конференции прилагается на отдельном листе.

При подготовке издания для печати исключить фотографии. Возможны лишь графические иллюстрации. Объем материалов не должен превышать 2 стр. формата А4. Используемая литература по тексту указывается в квадратных скобках, в конце приводится библиографический список

multiurok.ru

Разузнай! - Аликвотные дроби - Что такое аликвотные дроби

Известные также как египетские дроби, аликвотные дроби представляют собой сумму нескольких различных дробей типа 1/n. Говоря другими словами, в каждой дроби есть числитель, который равен (1) единице, а знаменатель будет натуральным числом.

Например: 1/2+1/3+1/16

Аликвотная дробь является положительным рациональным числом типа а/b; например, аликвотная дробь, представленная выше, можно написать в виде 43/48. Сумма такого вида использовалась античными математиками, чтобы записывать произвольные дроби, еще во времена Древнего Египта и до Средних веков. Несмотря на это в современной математике аликвотные дроби по сегодняшний день изучают в теории чисел и в истории возникновения математики, хотя вместо аликвотных дробей уже давно все используют обычные десятичные дроби. Первое упоминание об египетских (аликвотных) дробях было найдено на Математическом папирусе Ринда, который был написан Ахмесом во времена Второго переходного периода.

Аликвотные дроби также успешно использовали математики Древней Греции, после чего ними стал пользоваться весь мир, несмотря на то, что древние математики высказывали замечания насчет аликвотных дробей. Например, Клавдий Птолемей твердил о неудобстве применения аликвотных дробей в сравнении с системой Вавилона.

Немаловажную работу по исследованию аликвотных дробей провел математик Фибоначчи в ХIII веке в своем известном труде Liber Abaci.

В нынешней математике ученые продолжают  исследовать массу задач, которые связаны с аликвотными дробями:

  • в конце ХХ ученые смогли дать оценку самого большого знаменателя и длины разложения обычной дроби в аликвотную
  • также была выдвинута гипотеза Эрдешом и Грэхемом, которые утверждают, что для любой раскладки целых чисел, которые больше единицы в r>0 цветов может существовать конечное подмножество S целых. В 2003 году дана гипотеза была доказана известным математиком Эрнестом Крутом.

На сегодняшний день аликвотные дроби ставят для математиков целый ряд трудных и практически нерушимых математических задач.

razuznai.ru

Аликвотные струны

Аликвотные дроби применятся и в жизни. В ходе работы я узнал, что бывают аликвотные струны, чаще всего их называют резонансовыми струнами. Это дополнительные струны, к которым исполнитель не прикасается во время игры. Резонансовые струны само возбуждаются от колебания игровых струн, служат для усиления их звучания и для обогащения тембровых возможностей инструмента. Эти струны размещаются под грифом, сбоку или под игровыми струнами. Встречаются у многих индийских инструментов, у хардингфеле, у некоторых виолончелей http://www.josef-egipetsky.narod.ru/Slovar/Music_s/21r26rezonans_st.htm

Чтобы представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять, незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43= 1/42 +1/86 +1/129 +1/301.Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно.

Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула выглядит следующим образом:

1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))

Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:

1/(n*(n+1))=1/n -1/(n+1)

Т.е. аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых, являются последовательные числа равна их произведению.

Вернемся к формуле и докажем это равенство: 

  • 1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))
  • (1/(n+1)) +(1/n*(n+1)) ,

приведя дроби к общему знаменателю, получаем:

( n+1 )/((n+1)*n)

после сокращения получаем: 1/n.

Итак, получается, что 1/n=1/n. Наша формула верна.

vuzlit.ru

Значение аликвотных дробей в истории

Основная мысль Алгоритма Фибоначчи

Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом. http://www.ucheba.ru/referats/8521.html

1. Дробь разлагается на 2 слагаемых:

Здесь -- частное от деления n на m, округлённое до целого в бомльшую сторону, а -- (положительный) остаток от деления -n на m.

2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.

Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример:

Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения: в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению:

Новейшее время

Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями и достигли больших успехов в этом направлении.

vuzlit.ru


Смотрите также